درسنامه آموزشی فصل چهارم هندسه (1) کلاس دهم ریاضی
درس 1: خط، نقطه و صفحه
مفاهیم نقطه، خط و صفحه از اساسیترین مفاهیم در هندسه است که معمولاً برای نمایش آنها بهصورت زیر عمل میکنیم:
|
خط $AB$ یا $BA$، یا خط $d$ |
صفحه $ABC$، $BAC$، ..... یا صفحهٔ $P$ |
کار در کلاس (صفحه 78 کتاب درسی)
به این تصویر دقت کنید. توپ $A$ داخل جیب یکی از بازیکنها و توپ $C$ روی راکت بازیکن دیگر است و بقیهٔ توپهای تنیس روی زمین افتادهاند.
الف) سه توپ نام ببرید که در یک راستا هستند. $B,F,E$
ب) سه توپ نام ببرید که در یک صفحهاند ولی هم راستا نیستند. $B,F,D$
ج) چهار توپ نام ببرید که همگی در یک صفحه نیستند. $B,F,D,C$
حالتهای مختلف دو خط در صفحه و فضا
به تصاویر زیر نگاه کنید.
|
|
|
فعالیت (صفحه 79 کتاب درسی)
مکعب زیر را در نظر بگیرید.
در هر مورد وضعیت دو خط را نسبت به هم مشخص کنید و بنویسید که آیا میتوان صفحهای شامل آن دو در نظر گرفت؟
$EF$ و $HG$: موازی
$HG$ و $HD$: متقاطع
$EA$ و $GC$: موازی
$EC$ و $FD$: متقاطع
$HD$ و $BC$: متنافر
$GD$ و $AB$: متنافر
|
|
|
کار در کلاس (صفحه 79 تا 80 کتاب درسی)
1- به سؤالات زیر پاسخ دهید. (میتوانید از تصاویر کمک بگیرید.)
|
|
|
- در صفحه از هر نقطه چند خط میگذرد؟ بیشمار
در فضا چطور؟ بیشمار
- در صفحه از یک نقطه غیر واقع بر یک خط، چند خط موازی آن خط میتوان رسم کرد؟ یک و تنها یک خط
در فضا چطور؟ یک و تنها یک خط
2- در شکلهای زیر در صورت وجود، به خطوط موازی، متقاطع و متنافر اشاره کنید.
|
|
|
|
3- دو خط موازی رسم کنید و آنها را ${d_1}$ و ${d_2}$ بنامید.
حالا خط ${d_3}$ را موازی با ${d_2}$ رسم کنید. دو خط ${d_3}$ و ${d_1}$ نسبت به هم چه وضعی دارند؟ موازی
آیا در فضا نیز این نتیجه برقرار است؟ بله
4- میدانیم که در صفحه دو خط عمود بر یک خط، با هم موازیاند. آیا در فضا هم این رابطه برقرار است؟ خیر
5- خط $d$ با صفحهٔ $P$ متقاطع است.
خطهای موجود در صفحهٔ $P$ نسبت به خط $d$ چه وضعیتهایی میتوانند داشته باشند؟ متقاطع یا متنافر
- مدادتان را طوری در دست بگیرید که مداد یا امتداد آن، صفحۀ میز را قطع نکند.
- نوک مداد را روی میز بگذارید. در این حالت مدادتان در یک نقطه با میز اشتراک دارد.
- مدادتان را روی میز قرار دهید.
کار در کلاس (صفحه 81 کتاب درسی)
1- به سؤالات زیر پاسخ دهید. (میتوانید از تصاویر کمک بگیرید.)
- از یک خط در فضا چند صفحه میگذرد؟ بیشمار
- از دو خط متقاطع چند صفحه میگذرد؟ یک و تنها یک صفحه
- از دو خط موازی چطور؟ یک و تنها یک صفحه
- از یک نقطهٔ غیرواقع بر یک صفحه، چند خط موازی با آن صفحه میتوان رسم کرد؟ بیشمار
|
|
|
2- دو خط در نقطهٔ $A$ متقاطعاند و صفحهٔ $P$ شامل نقطهٔ $A$ است. با توجه به شکلهای زیر حالتهای مختلف خطوط متقاطع و صفحهٔ $P$ را بررسی کنید.
|
هیچ یک از دو خط در صفحه $P$ قرار ندارند. |
فقط یکی از دو خط در صفحه $P$ قرار دارد |
هر دو خط در صفحه $P$ قرار دارند. |
3- دو خط ${d_1}$ ${d_2}$ در فضا با هم موازیاند.
الف) اگر صفحهای مثل $P$ با یکی از این دو خط موازی باشد، نسبت به دیگری چه وضعی دارد؟
یا با خط دوم موازی است یا خط دوم بر آن واقع است.
ب) اگر صفحه $P$ شامل یکی از این دو خط باشد، نسبت به دیگری چه وضعیتی دارد؟
یا با خط دیگر موازی است یا هر دو خط بر آن صفحه قرار دارند.
ج) اگر صفحهٔ $P$ با یکی از این خطوط متقاطع باشد، نسبت به دیگری چه وضعیتی دارد؟
متقاطع
4- مسئلهٔ قبل را برای حالتی حل کنید که دو خط، متنافرند.
الف) میتواند با آن موازی باشد مثل صفحه $P$ و دو خط $FB$ و $HG$ - خط دیگر میتواند برآن واقع باشد. مثل صفحه $EFBA$ که با $HG$ موازی است و $FB$ برآن قرار دارد.
- میتواند متقاطع باشد مثل $HEAD$.
ب) میتواند متقاطع باشد مثل صفحه $HGFE$ و میتواند موازی باشد مثل صفحه $DHGC$
ج) - میتواند شامل خط دیگر باشد مثل صفحهٔ $EHGF$
- میتواند موازی باشد مثل صفحه $ADCB$
- میتواند مطابق شکل هر دو را قطع کند.
حالتهای مختلف دو صفحه
- یک برگه را طوری در دست بگیرید که خودش یا امتداد آن صفحهٔ میز را قطع نکند.
- برگه را طوری در دست بگیرید که خودش یا امتداد آن صفحهٔ میز را قطع کند. اشتراک صفحهای که برگه قسمتی از آن است، با سطح میز به چه شکلی است؟
کار در کلاس (صفحه 82 کتاب درسی)
به این مکعب دقت کنید:
الف) خطهای $GF$ و $DA$ نسبت به هم چه وضعی دارند؟ موازی
$HG$ و $DC$ چطور؟ موازی
$EF$ و $GC$ چطور؟ متنافر
ب) هر خط با چند خط دیگر متقاطع است؟ چهار خط
با چند خط موازی است؟ سه خط
با چند خط متنافر است؟ چهار خط
ج) $HD$ با کدام صفحه موازی است؟ $BFG$
با کدام متقاطع است؟ $EFG,ABC$
بر کدام واقع است؟ $HAD,HDC$
د) دو صفحهٔ موازی و دو صفحهٔ متقاطع نام ببرید.
$EFG,ABC$ دو صفحه موازیاند
$ABF,ABC$ دو صفحه متقاطعاند
تعامد
- نوک مداد خود را مطابق شکل به صورت قائم بر صفحهٔ کتاب نگه دارید. در این حالت مدادتان با بقیهٔ خطهای موجود در صفحه که از نقطهٔ تقاطع مداد و سطح میز میگذرند، چه وضعیتی دارد؟ عمود است
- آیا اگر خطی فقط بر یکی از خطوط صفحهای عمود باشد، میتوانیم بگوییم آن خط به آن صفحه عمود است؟ خیر
اگر خطی بر دو خط متقاطع از صفحهای، در محل تقاطع عمود باشد، بر آن صفحه عمود است.
کار در کلاس (صفحه 83 کتاب درسی)
|
(1)
|
(2)
|
(3)
|
|
(4)
|
(5)
|
|
میدانیم که در صفحه، دو خط عمود بر یک خط با هم موازیاند.
الف) آیا دو خط عمود بر یک صفحه همیشه با هم موازیاند؟ بله
ب) آیا دو صفحهٔ عمود بر یک صفحه همیشه با هم موازیاند؟ بله
ج) دو صفحهٔ عمود بر یک خط نسبت به هم چه وضعی دارند؟ موازیاند
د) اگر خطی بر یکی از دو صفحهٔ موازی عمود باشد، نسبت به دیگری چه وضعیتی دارد؟ عمود است
ه) اگر یکی از دو خط موازی بر صفحهای عمود باشد، وضعیت خط دوم با صفحه را بررسی کنید. آن نیز عمود است
تمرین (صفحه 84 تا 86 کتاب درسی)
1- با توجه به شکل به سؤالات پاسخ دهید:
الف) چند صفحه در شکل میبینید، نام ببرید.
دو صفحه، صفحه $BCE$ و صفحهای که از $AD$ و فصل مشترک میگذرد
ب) سه نقطه پیدا کنید که در یک صفحهاند.
نقاط $B$ و $C$ و $E$
ج) چهار نقطه پیدا کنید که در یک صفحه نیستند.
نقاط $A$ و $B$ و $C$ و $D$
د) دو خط $AB$ و $CE$ نسبت به هم چه وضعی دارند؟ $AC$ و $CE$ چطور؟
متنافر - متقاطع
2- دو صفحهٔ ${P_1}$ و ${P_2}$ را بهگونهای در نظر بگیرید که متقاطع باشند و خط $d$ فصل مشترک آنها باشد (در هر دو حالت الف و ب تصویر مناسب را رسم کنید).
الف) اگر $P'$ صفحهای باشد که با ${P_1}$ موازی باشد، نسبت به ${P_2}$ چه وضعیتی خواهد داشت.
صفحه $P'$ صفحه ${P_2}$ را در خطی موازی خط $d$ قطع میکند.
ب) اگر $P'$ صفحهای باشد که با ${P_1}$ متقاطع است، با ${P_2}$ چه وضعیتی میتواند داشته باشد.
3- شکل زیر یک دیوار و یک در دو لنگه را که در دیوار قرار گرفته است، نشان میدهد. وضعیت خط ها و صفحههای زیر را مشخص کنید.
الف) وضعیت صفحات $EFIH$ و $ABCD$ و $FGJI$ را به دوبهدو نسبت به هم بررسی کنید.
دو صفحه $EFIH,FGJI$ بر هم منطبقاند و صفحه $ABCD$ با هر دو آنها موازی است.
ب) خطوط $FI$ و $BC$ موازی
ج) خطوط $FI$ و $AB$ متنافر
د) خطوط $FG$ و $EF$ منطبق
ه) خطوط $FG$ و $HI$ موازی
4- تجسم کنید دو لنگهٔ در هرکدام ${30^ \circ }$ باز شدهاند، وضعیت خطها و صفحههای زیر را مشخص کنید.
الف) وضعیت صفحههای $EIKJ$ و $ABCD$ و $JFGL$ را دو به دو نسبت به هم بررسی کنید. دو به دو متقاطعاند.
ب) خط $FJ$ و صفحهٔ $EIKH$ متقاطع
ج) خط $JL$ و صفحهٔ $EIKH$ موازی
د) خط $EH$ نسبت به هر یک از صفحات خط $EH$ روی دو صفحه $ABCD,EIKH$ قرار دارد و با صفحه $JFGL$
ه) خطوط $EI$ و $JF$ متقاطع
و) خطوط $EI$ و $FG$ متنافر
ز) خطوط $FJ$ و $BC$ متنافر
5- تصور کنید دو لنگهٔ در هرکدام ${90^ \circ }$ باز شدهاند. وضعیت خطها و صفحههای زیر را مشخص کنید.
الف) وضعیت صفحات $EIKH$ و $ABCD$ و $FGLJ$ را دوبه دو نسبت بههم بررسی کنید.
دو صفحه $EIKH$ و $ABCD$ متقاطع، دو صفحه $FGLJ$ و $ABCD$ متقاطع، دو صفحه $EIKH$ و $EIKH$ موازی
ب) خط $FJ$ و صفحهٔ $EIKH$ موازی
ج) خط $JL$ و صفحهٔ $EIKH$ موازی
د) خطوط $EI$ و $FJ$ موازی
ه) خطوط $FJ$ و $HK$ موازی
6- منشور سه پهلوی زیر را در نظر بگیرید و به سؤالات پاسخ دهید:
الف) سه جفت خط متمایز دو به دو موازی نام ببرید. $AD,CF,BE$
ب) سه جفت خط متمایز دو به دو متنافر نام ببرید. $CD,EF,AB$
ج) سه جفت خط دو به دو متقاطع نام ببرید. $AB,AC,BC$
د) سه خط همرس نام ببرید. $AB,AC,AD$
ه) سه جفت خط و صفحهٔ موازی نام ببرید. خطهای $AB,AC,BC$ و صفحه $DEF$
و) دو صفحهٔ موازی نام ببرید. $ABC,DEF$
ز) سه صفحهٔ دو بهدو متقاطع نام ببرید. $ABC,BCFE,ACFD$
7- از هر نقطه غیرواقع بر یک صفحه، چند خط میتوان به آن صفحه عمود کرد؟
یک و تنها یک خط میتوان عمود کرد
8- از هر خط غیرواقع بر یک صفحه، چند صفحه میتوان گذراند که بر آن صفحه عمود باشد؟
الف) خط بر صفحه عمود باشد. بیشمار صفحه
ب) خط بر صفحه عمود نباشد. فقط یک صفحه
9- دو صفحه $P$ و $Q$ برهم عمودند و خط $d$ نیز بر صفحهٔ $P$ عمود است. این خط نسبت به صفحهٔ $Q$ چه وضعی دارد؟
موازی است
10- دو صفحهٔ متقاطع $P$ و $Q$ بر صفحهٔ $R$ عمودند. فصل مشترک این دو صفحه نسبت به صفحهٔ $R$ چه وضعیتی دارد؟
عمود است
